オリジナル問題集
こんにちは！半沢です！
今回の記事ではオリジナル問題を掲載します。
今のところは高校数学だけの知識で解けるので，ぜひ挑戦してみてください。
それぞれの難易度は
★☆☆\(\,\cdots\,\)気づけば簡単
★★☆\(\,\cdots\,\)少し考える必要がある
★★★\(\,\cdots\,\)めちゃくちゃ考える必要がある
の三段階評価で表しています。
感想をいただけるととても嬉しいです。
整数
★★★: 京大2018年度理系問2の一般化
こちらの問題は\(\,p=3\,\)の場合，下の京大2018年度理系問2に一致するという，京大入試の一般化に成功した問題です。
京大の問題の解法でよく紹介されるのは，\(\,n\,\)に値を代入して実験し，\(\,\mod{3}\,\)で与式が常に\(\,0\,\)になることに気づき，
\(n\equiv 0,1,2\pmod{3}\,\)と場合分けして，そのことを証明し，
方程式\(\,n^3-7n+9=3\,\)を解くというのが解答の流れになります。
しかし私のオリジナル問題では一般化しているため，その解法をそのまま用いることはできません。
かなり難しい問題なので，
ヒントが欲しい方は
【受験生必見！】京大数学の整数問題に有効な「フェルマーの小定理」を紹介
をご覧ください。
京大数学の背景知識が分かると思います。
解答はこちらから見れます。
数列
★☆☆: 二項係数の和の美しい解法
こちらの問題は統計力学で状態数の数え上げを行う必要があるのですが，その際\(\,2\,\)通りの数え上げ方があることに気づき作成しました。
この問題の解法は個人的にかなり美しいと思っているので，
問題よりこちらの解答を見ていただけると嬉しいです。
★★☆: 形式的べき級数の合成関数の微分が背景にある問題
こちらの問題は形式的べき級数の合成関数の微分を勉強している際に得られた問題です。
背景を知らなければ，人工的に作ったように見えますが，自然に得られたものです。
こちらが解答です。
まとめ
オリジナル問題はいかがでしたか？
これからもオリジナル問題を思いついたらここに投稿していくので，楽しみにしていてください。
もしご感想などがありましたら，
X（旧:Twitter）で#トイカラでつぶやいていただけると，嬉しいです。
ここまで読んでいただき，ありがとうございました。
