\(\cot\)は右のような分数の和で表されるということですね。

ちなみにヘルグロッツの技法の記事の補足で証明していますが，

右辺の級数は広義一様収束するので，正則で項別微分などができることもこの等式の嬉しい点です。

この部分分数分解はリーマンのゼータ関数\(\,\zeta(z)\,\)の正の偶数上の値や，
保型形式であるアイゼンシュタイン級数\(\,G_k(z)\,\)の級数展開にも関係します。

また\(\,\sin\,\)の対数微分が\(\,\cot\,\)になることを利用して，\(\,\sin\,\)の無限積表示を得ることもできます。

これらの応用は改めて記事にするつもりなので，そちらをお待ちください。

次章からは\(\,\cot\,\)の部分分数分解を留数定理で証明していきましょう。

ヘルグロッツの技法による証明はこちらをご覧ください。

※右辺の級数\(\,\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\biggl(\dfrac{1}{z+n}+\dfrac{1}{z-n}\biggr)\,\)は

よく\(\,\displaystyle \sum_{n\in \mathbb{Z}} \dfrac{1}{z+n}\,\)と書かれることがありますが，この表記には注意が必要です。

なぜなら\(\,\displaystyle \sum_{n\in \mathbb{Z}} \dfrac{1}{z+n}\,\)は絶対収束ではなく条件収束であるため，和の順序が重要だからです。

実際，絶対収束でないことは\(\,\displaystyle \lim_{n\to\infty} \Biggl|\dfrac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{z+n}}\Biggr|=1\)より，

部分級数\(\,\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{z+n}\,\)が\(\,\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}\,\)と同様に絶対収束しないことから分かります。

そのため文脈によっては\(\,\displaystyle \sum_{n\in \mathbb{Z}} \dfrac{1}{z+n}\,\)という表記は不適切な場合があるので，注意しましょう。

それでは証明です。

\(f(\zeta)=\pi\cot \pi \zeta\,\)に留数定理を使うため，まずはその極を調べましょう。

\(\cot \pi \zeta=\frac{\cos \pi \zeta}{\sin\pi \zeta}\,\)であるため，\(\,f(\zeta)\,\)は\(\,\zeta=n\in\mathbb{Z}\,\)において\(\,1\,\)次の極を持ち，その留数は

\(\displaystyle \lim_{\zeta\to n}\pi\dfrac{\cos \pi\zeta}{\sin \pi\zeta}(\zeta-n)=\lim_{\zeta\to 0}\biggl(\cos\pi\zeta\cdot \dfrac{\pi\zeta}{\sin \pi\zeta}\biggr)=1\)

です。

そこで\(\,R=N+\dfrac{1}{2}\,\)とおき，下図のように正方形の経路\(\,C\,\)を取ります。

ただし後のために任意の\(\,z\in \mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}\,\)に対して，上図のように\(\,|z|\lt R\,\)となるように，\(\,N\,\)を十分大きく取っておきます。

このとき留数定理から

\(\displaystyle \int_{C}\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=f(z)-\dfrac{1}{z}-\sum_{n=1}^{N}\biggl(\dfrac{1}{z+n}+\dfrac{1}{z-n}\biggr)\)

となります。

後はこの式で\(\,N\to \infty\,\)としたとき，\(\,\displaystyle \int_{C}\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\to 0\,\)であることを示せば，

単に移項するだけで

\(\pi \cot\pi z =\dfrac{1}{z}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\biggl(\dfrac{1}{z+n}+\dfrac{1}{z-n}\biggr)\qquad(z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{Z})\)

が示されます。

よってここからは\(\,\displaystyle \int_{C}\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\to 0\,\,(N\to\infty)\,\)を示しましょう。

正方形\(\,C\,\)の縦辺上では\(\,\zeta=\pm R+yi\,\,(-R\leq y\leq R)\,\)とおけるので，

よって三角不等式より\(\,|e^{\pi y}-e^{-\pi y}|\leq e^{\pi y}+e^{-\pi y}\,\)なので，

\(\displaystyle |\cot\pi\zeta|=\biggl|\dfrac{e^{\pi y}-e^{-\pi y}}{e^{\pi y}+e^{-\pi y}}\biggr|\leq 1 \)

と評価できます。

また横辺上でも\(\,\zeta=x\pm Ri\,\,(-R\leq y\leq R)\,\)とおけるので，

再び三角不等式から(複合同順)

\(\displaystyle |e^{ix}e^{\mp R}+e^{-ix}e^{\pm R}|\leq e^{R}+e^{-R} \)

\(\displaystyle |e^{ix}e^{\mp R}-e^{-ix}e^{\pm R}|\geq e^{R}-e^{-R}>0 \)

なので，

\(\displaystyle |\cot\pi\zeta|=\biggl|\dfrac{e^{ix}e^{\mp R}+e^{-ix}e^{\pm R}}{e^{ix}e^{\mp R}-e^{-ix}e^{\pm R}}\biggr|\leq \dfrac{e^{R}+e^{-R}}{e^{R}-e^{-R}} \)

となります。

\(\displaystyle \lim_{R\to\infty}\dfrac{e^{R}+e^{-R}}{e^{R}-e^{-R}}=1\,\)なので，\(\,R\,\)を十分大きく取れば\(\,\dfrac{e^{R}+e^{-R}}{e^{R}-e^{-R}}\leq 2\,\)とできるので，

結局\(\,|\cot\pi\zeta|\leq 2\)と評価できます。

ここで

\(\displaystyle \int_{C}\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=\int_{C}\dfrac{f(\zeta)}{\zeta}d\zeta+z\int_{C}\dfrac{f(\zeta)}{\zeta(\zeta-z)}d\zeta\)

と変形できることに注意します(これはかなり感動的な変形です)。

\(f(\zeta)=\pi\cot\pi\zeta\,\)は奇関数なので，\(\,F(\zeta)=\frac{f(\zeta)}{\zeta}\,\)は偶関数です。

また\(\,\zeta\to-\zeta\,\)という変換で，経路\(\,C\,\)は不変であることに注意すると\(\,F(\zeta)=F(-\zeta)\,\)より

\(\displaystyle \int_{C}F(\zeta)d\zeta=\int_{C}F(-\zeta)d\zeta=-\int_{C}F(\zeta)d\zeta\)

となるので，\(\displaystyle \int_{C}F(\zeta)d\zeta=0\)であることが分かります。

そのため\(\,\displaystyle z\int_{C}\dfrac{f(\zeta)}{\zeta(\zeta-z)}d\zeta\,\)の評価のみ考えれば良いです。

\(|\zeta|\geq R\,\)は経路の図より明らかであることに注意すると，三角不等式から

\(\,|\zeta||\zeta-z|\geq |\zeta|(|\zeta|-|z|)\geq R(R-|z|)>0 \,\)

と評価できます。

※\(\,R\,\)を\(\,z\,\)に対して\(\,|z|\lt R\,\)となるように取ったのはこの不等式の\(\,\gt 0\,\)の部分のためです。

\(|\cot\pi\zeta|\,\)の評価と合わせると，\(\,R\to\infty\,\)のとき

\(\,\displaystyle \biggl|z\int_{C}\dfrac{f(\zeta)}{\zeta(\zeta-z)}d\zeta\biggr| \leq |z|\int_{C}\dfrac{2}{R(R-|z|)}d\zeta=\dfrac{2|z|\cdot 8R}{R(R-|z|)}\to 0\,\)

となります。

※最初の変形により，この評価の上限の分母に\(\,R\,\)の\(\,2\,\)乗の寄与が生まれています。
そのため\(\,0\,\)に収束することが言えるようになっているので，最初の変形がかなりうまいものだと思っていただけるでしょう。

以上より\(\,\displaystyle \int_{C}\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\to 0\,\,(N\to\infty)\,\)が言えたので，証明完了です。\(\quad\square\)

今回の記事では\(\cot\,\)の部分分数分解(partial fraction decomposition of cotangent)を解説いたしました。

\(\cot\,\)の部分分数分解の応用についてはまた別の記事を書くので，お待ちいただけると嬉しいです。

もし「説明がわかりにくい」などご要望・ご感想がありましたら，
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ここまで読んでいただき，ありがとうございました。

• \([1]\) 高木貞治　著.岡本厚　発行. “定本　解析概論”.初版.岩波出版.2010出版.p.252-253.