穴の種類

まずは「穴」を直感的に考えていきましょう。

穴を持つ図形の具体例として，直感的に下図のようなものが思いつくでしょう。

\(A\,\)の図形はワイヤーによって作られているとイメージしてください。

三角形や四角形の指輪のようなイメージです。

指輪なので，指を通すための穴があるということです。

\(B\,\)の方の図形は中身が空っぽの箱のようなイメージを持ってください。

こちらは中身が空の箱なので，物を入れるための穴(空洞)があるということです。

\(\,A\,\)の図形の穴は線(\(1\,\)次元図形)に囲まれて作られてるので，「\(\,1\,\)次元の穴」と呼ぶことにしましょう。

一方\(\,B\,\)の図形の穴は面(\(2\,\)次元図形)に囲まれて作られているので，「\(\,2\,\)次元の穴」と呼ぶことにします。

このように一口に「穴」と言っても，その次元によって種類が分かれることが分かります。

今回の記事ではまず最初に

最も直感的に分かりやすい，「\(\,1\,\)次元の穴」を中心に穴を捉えていきましょう。

穴の性質

さて，ここからは前節で述べたように「\(\,1\,\)次元の穴」について考えていきましょう。

穴を数学的に捉えるには「穴」と「穴でないもの」をしっかり区別する必要があります。

そこでまず「穴」の持つ性質について考えていきましょう。

次のような操作\(\,\partial_1\,\)を考えてみましょう。

\(\,\partial_1\,\)は下図のような，

線で構成された図形(\(\,1\,\)次元図形)から，その境界(端の点)を取り足すような操作です。

図形の下に

\(\,\langle a_0a_1 \rangle+\langle a_1a_2 \rangle+\langle a_2a_3 \rangle,-\langle a_0 \rangle+\langle a_3 \rangle\,\)

という式が書かれていますが，その式はホモロジーがやや分かっている人向けに書いたので，完全に理解はしていただなくて結構です。

この式の表示で押さえておいて欲しいのは，

式に\(\,\langle a_0a_1 \rangle\,\)や\(\,\langle a_0 \rangle\,\)の項が現れることと，図形内に辺\(\,a_0a_1\,\)や点\(\,a_0\,\)があることは同等であることです。

\(\,+,-\,\)といった符号ついてはこの記事では考える必要がないので，一旦無視してください。

この境界を取る操作\(\,\partial_1\,\)のことを\(\,1\,\)次境界準同型と呼びます。

この\(\,1\,\)次境界準同型\(\,\partial_1\,\)を\(\,1\,\)次元の穴に作用させてみましょう。

下図のような\(\,1\,\)次元の穴を持った図形\(\,X\,\)について考えましょう。

これは前節でも述べたように，三角形の指輪のような図形です。

穴には境界(端の点)がないので，
\(\,\partial_1\,\)を作用させると下図のように\(\,X\,\)は消えて「無」になってしまいます。

※式による表示で「無」は\(\,0\,\)として表現されます。

この「\(\,1\,\)次元の穴は\(\,1\,\)次境界準同型により無になること」をまずは押さえておきましょう。

しかしここで注意してほしいのは，

逆の「\(\,1\,\)次元の穴\(\,\Leftarrow\,\)\(\,1\,\)次境界準同型により無になる」は必ずしも成り立たないということです。

例えば下図のような，
先程の三角形のフレーム型の図形\(\,X\,\)に，三角形の板\(\,\langle a_0a_1a_2\rangle\,\)がはまっている図形\(\,Y\,\)を考えましょう。

板\(\,\langle a_0a_1a_2\rangle\,\)がフレーム\(\,\langle a_0a_1 \rangle+\langle a_1a_2 \rangle+\langle a_2a_0 \rangle\,\)内に収まっているので，図形\(\,Y\,\)に穴はありません。

しかしこのフレーム\(\,\langle a_0a_1 \rangle+\langle a_1a_2 \rangle+\langle a_2a_0 \rangle\,\)の境界を取ると先程と同様にして無になります。

結局，\(\,1\,\)次元の穴を数学的に捉えるには「\(\,1\,\)次境界準同型により無になる」という条件だけでは足りないということですね。

そこでさらに観察を進めてみましょう。

するとフレーム\(\,\langle a_0a_1 \rangle+\langle a_1a_2 \rangle+\langle a_2a_0 \rangle\,\)が穴となっていない図形\(\,Y\,\)では，

フレーム\(\,\langle a_0a_1 \rangle+\langle a_1a_2 \rangle+\langle a_2a_0 \rangle\,\)が三角形の板\(\,\langle a_0a_1a_2\rangle\,\)の縁(境界)になっていることが分かります。

このことは\(\,\partial_1\,\)と同様に\(\,2\,\)次境界準同型\(\,\partial_2\,\)を

面で構成された図形(\(\,2\,\)次元図形)から，その境界を取り出すような操作とすると，

\(\langle a_0a_1 \rangle+\langle a_1a_2 \rangle+\langle a_2a_0 \rangle=\partial_2\langle a_0a_1a_2\rangle\)

として表されます。

つまり\(\,1\,\)次境界準同型により無になるのに，\(\,1\,\)次元の穴でないものは

ある\(\,2\,\)次元の図形の境界となっているということですね。

これをひっくり返せば

\(\,1\,\)次元の穴は\(\,1\,\)次境界準同型により無になるもののうち，ある\(\,2\,\)次元の図形の境界となっていないものと考えられます。

この考え方によって次のことが成り立ちます^{補足\([1]\)}。

\(\,2,3\,\)次元などの穴も同様に考えることができるので，自然数\(\,k\,\)を用いて

とまとめることができます。

この穴の性質を利用して，ホモロジー理論では数学的に穴を捉えていくというわけですね。

穴の個数とホモロジー群の関係

さて穴を数学的に捉える方法が直感的に理解できたところで，具体的には穴をどのように測っていくのでしょうか？

ホモロジー入門なので，厳密な話はあまりせず，
その測り方の概要についてここからはお話していきたいと思います。

ホモロジー理論はすぐに理解できるものではないので，ここから書かれていることが分からなくても大丈夫です。流し読みくらいの感覚で読んでくれることを筆者も想定しています。

詳しく知りたい方は参考図書\([1]\)でぜひ勉強してみてください。

前節で\(\,k\,\)次元の穴について

\(k\,\)次元の穴\(\,\Leftrightarrow\,\)\(\,k\,\)次境界準同型により無になるもののうち，ある\(\,(k+1)\,\)次元の図形の境界となっていない

という関係が成り立っていることを確認しました。

この関係性を利用して，図形\(\,L\,\)に対して\(\,k\,\)次ホモロジー群と呼ばれる空間\(\,H_k(L)\,\)を構成します。

この空間は\(\,H_k(L)=\mathrm{Ker}\partial_{k}/\mathrm{Im}\partial_{k+1}\,\)として定義されています。

\(\mathrm{Ker}\partial_{k}\,\)は\(\,k\,\)次境界準同型により無になるものを表し，

\(\mathrm{Im}\partial_{k+1}\,\)はある\(\,(k+1)\,\)次元図形の境界となっているものを表します。

それらを組み合わせて作ったホモロジー群\(\,H_k(L)=\mathrm{Ker}\partial_{k}/\mathrm{Im}\partial_{k+1}\,\)では

\(k\,\)次境界準同型により無になるもののうち，ある\(\,(k+1)\,\)次元図形の境界となっているものを，
\(0\,\)という空間を生成しないものに対応させます。

つまりホモロジー群\(\,H_k(L)\,\)では，
穴でないものを\(\,0\,\)という空間の生成に寄与しないものに対応させるわけですね。

反対に\(\,k\,\)次境界準同型により無になるもののうち，ある\(\,(k+1)\,\)次元図形の境界となっていないものは，
空間を生成するものに対応させます。

ホモロジー群\(\,H_k(L)\,\)では，穴を空間の生成に寄与するものに対応させるということです。

このようにして\(\,k\,\)次ホモロジー群\(\,H_k(L)\,\)を作ると大雑把には次の対応関係が成り立ちます。

※厳密に言えば空間の個数と，穴の個数は完全に一致するとは言えません^{補足\([2]\)}。
しかし単純な図形の多くはこの関係が成り立ちます。

具体例として前節で扱った図形\(\,X,Y\,\)の\(\,1\,\)次ホモロジー群を考えてみましょう。

図形\(\,X\,\)の\(\,1\,\)次ホモロジー群\(\,H_1(X)\,\)は，

\(\,H_1(X)=\mathbb{Z}^{1}\,\)

図形\(\,Y\,\)の\(\,1\,\)次ホモロジー群\(\,H_1(Y)\,\)は，

\(\,H_1(Y)=\{0\}\,\)

となります。

これは図形\(\,X\,\)が\(\,1\,\)次元の穴を\(\,1\,\)個持つことと，

図形\(\,Y\,\)はそもそも\(\,1\,\)次元の穴を持たないことに対応します。

このようにして，穴の個数を数学的に捉えていくわけですね。

ストローの穴は\(\,2\,\)個？\(\,1\,\)個？

ここまで説明したホモロジーの概念を用いて，
ストローの穴は\(\,2\,\)個なのか\(\,1\,\)個なのかという議論に決着をつけましょう。

ストローは実質，下のような図形\(\,S\,\)と考えられます。

少々分かりずらいかもしれませんが，灰色の部分には面があり，白の部分には面が存在しない図形です。

ストローの穴が\(\,2\,\)個派の考え方としては，
上下の白の部分(図では下の白の部分は見えない)を\(\,2\,\)つの穴と見ているというものでしょう。

\(1\,\)個派の考え方としては
「上下の穴はつながっているので，本質的には\(\,1\,\)個だ」というものでしょう。

数学的にはどちらになるのでしょうか？

ここで，この図形\(\,S\,\)の\(\,1\,\)次元ホモロジー群\(\,H_1(S)\,\)を計算すると，

\(H_1(S)=\mathbb{Z}^{1}\)

となります。

\(1\,\)次元ホモロジー群\(\,H_1(S)\,\)の空間の個数は\(\,1\,\)個なので，

ストローの穴は数学的には\(\,1\,\)個という結論になります。

ではなぜ\(\,2\,\)個にならなかったのでしょうか？

これは\(\,1\,\)個派の理由と同じように，上下の穴を数学的には同じ\(\,1\,\)つのものとして扱うからとなります。

ホモロジーをややかじっている人向けにいうなら，上下の穴はホモローグだから実質\(\,1\,\)つということになります。

このように身の周りの図形の穴の数を計算できるのは面白いですね

応用

ここからはホモロジーがどのように使われるのかを軽く説明したいと思います。

ホモロジーを扱う位相幾何学では，
図形を連続的変形(めちゃくちゃ厳密性を無視して言えば，粘土を限られた手法でこねるような変形)の観点から図形の分類を行います。

ある図形と別の図形とが連続的に移り合う(ある図形の形の粘土を，別の図形の形の粘土に限られた手法でこねれる)なら，
それらの図形は位相幾何学上では「同じ」とみなすという，かなり緩い尺度で図形を分類していきます。

この分類上では例えば四角と円は同じ図形とみなされます。

有名な数学ジョークの「位相幾何学者はドーナツとマグカップの区別がつかない」というのは
この「緩い」図形の分類から来ています。

図形のホモロジー群はこの連続的変形によって不変であるという良い性質を持っているので，この分類に非常に役立ちます。

類推により説明するなら，\(\,2\,\)人の人を分類する際にDNAが違えば，その\(\,2\,\)人は別の人だと分類できます。

ホモロジー群も同じで
\(2\,\)つの図形を分類する際にホモロジー群が違えば，その\(\,2\,\)つの図形は別の図形だと分類することができます。

このようにホモロジー群は「緩い」図形の分類に役立つというわけですね。

またかなり高度な話となるのですが，ホモロジー群の構造そのものに注目をして，
それを代数学の方に適用するホモロジー代数学というかなりメジャーな分野があります。

このホモロジー代数学は名前の通り，位相幾何学のホモロジーに由来します。

元々幾何的だったホモロジーが代数学にも応用されている点は面白いですね。

今回の記事ではホモロジーを解説いたしました。

ホモロジー理論をしっかり理解したいと思った方は参考文献\([1]\)を読んで，ぜひ勉強してみてください。

もし「説明がわかりにくい」などご要望・ご感想がありましたら，
X（旧:Twitter）で#トイカラでつぶやいていただけると，できる限り対応します。

ここまで読んでいただき，ありがとうございました。

\([1]\)穴の同値条件について

穴の性質で下のことが成り立つと紹介しました。

この条件について少し注意があります。

私たちが日常で直感的に使う「穴」という言葉は，どのように定義しようともそこには曖昧さが含まれてしまいます。

そのために上で解説したようにストローの穴の数え方が，人によって異なるといった事態が起きるわけですね。

この曖昧性のために先ほどpointでお話しした

\(k\,\)次元の穴\(\,\Leftrightarrow\,\)\(\,k\,\)次境界準同型により無になるもののうち，ある\(\,(k+1)\,\)次元の図形の境界となっていない

という同値条件が，私たちが直感的に考える「穴」に対し真に成り立つかは誰も知る由もないということです。

つまりこの同値条件は
「数学的には穴をこういった関係がなりたつものとして捉えるよ」という約束事として考える方が，どちらかと言えば正確と言えます。

この話を聞いて「それなら数学的な「穴」は直感的な「穴」と全然違うものじゃん」と考えるのは早計です。

なぜなら数学的な「穴」は直感的な「穴」にできる限り近づくように定義しているので，かなり多くの場合で直感と一致します。

むしろ直感的に捉えられない「\(\,3\,\,\)次元の穴」までも数学的な「穴」では捉えることができます。

ここは数学というよりも思想に近い部分ですので，信じるか信じないかは読者に任せたいと思います。

\([2]\)ホモロジー群の空間の個数について

“穴の個数とホモロジー群の関係”の節で以下の対応関係を述べました。

この対応関係は多くの場合成り立ちますが，成り立たない場合もあるので，そのような例について考えていきましょう。

下のような立方体のフレームからなる図形\(\,L\,\)を考えましょう。

ホモロジーを少し理解していると，\(\,6\,\)個の辺の連なり

\(z_1=\langle a_0a_1 \rangle + \langle a_1a_2 \rangle + \langle a_2a_3 \rangle + \langle a_3a_0 \rangle\)

\(z_2=\langle a_0a_4 \rangle + \langle a_4a_5 \rangle + \langle a_5a_1 \rangle + \langle a_1a_0 \rangle\)

\(z_3=\langle a_0a_3 \rangle + \langle a_3a_7 \rangle + \langle a_7a_4 \rangle + \langle a_4a_0 \rangle\)

\(z_4=\langle a_6a_2 \rangle + \langle a_2a_1 \rangle + \langle a_1a_5 \rangle + \langle a_5a_6 \rangle\)

\(z_5=\langle a_6a_7 \rangle + \langle a_7a_3 \rangle + \langle a_3a_2 \rangle + \langle a_2a_6 \rangle\)

\(z_6=\langle a_6a_5 \rangle + \langle a_5a_4 \rangle + \langle a_4a_7 \rangle + \langle a_7a_6 \rangle\)

が数学的に穴となることがすぐに分かります。

実際\(\,z_1,z_2,\ldots,z_6\,\)は\(\,1\,\)次ホモロジー群の\(\,0\,\)でない要素となります(またお互いにホモローグともなりません)。

※厳密に言えばホモロジー群は剰余群なので，ホモロジー類\(\,[z_1],[z_2],\ldots,[z_6]\,\)についての話となります。
しかし明らかに\(\,2\,\)次境界輪体群について\(\,B_2(L)=\{0\}\,\)なので，\(\,[\quad\!\!]\,\)の有無は無視しても構いません。そのため以下では\(\,[\quad\!\!]\,\)は考えないことにします。

しかし\(\,1\,\)次ホモロジー群\(\,H_1(L)\,\)を実際に計算してみると，

\(H_1(L)=\mathbb{Z}^{5}\)

となり，\(\,6-5=1\,\)個の穴が消えていることが分かります。

この原因は\(\,6\,\)個の穴\(\,z_1,z_2,\ldots,z_6\,\)全てが空間の生成に寄与しないからです。

なぜそのようになるのかというと，
\(\,1\,\)次ホモロジー群\(\,H_1(L)\,\)において次の関係式が成り立つことによります。

\(z_1+z_2+z_3+z_4+z_5+z_6=0\)

線形代数学が分かっている人向けに言うなら，
\(6\,\)つの穴\(\,z_1,z_2,\ldots,z_6\,\)が線形独立ではないということです。

そのため直感的には\(\,6\,\)つであるはずの穴が，\(\,1\,\)つの関係式により独立性を崩されているので
ホモロジー群の空間の個数は\(\,6-1=5\,\)個になるというわけですね。

このことを踏まえて先ほどのpointを修正すると，次のようになります。

• \([1]\) 和久井道久.”代数トポロジーの基礎　基本群とホモロジー群”.Ver1.2.近代科学社.2021出版.294p.