定義
有限群\(G\)の表現で次数が\(1\)のものを一次表現と呼ぶ。

定理\([1]\)
一次表現は群から\(\mathbb{C}^{\times}\)への準同型と同一視できる。

定理\([2]\)
一次表現は既約表現である。

定理\([3]\)
\(G\)を有限群とすると，
\(G\)が可換群\(\,\,\Leftrightarrow\,\,\)既約表現は全て一次表現。

定理\([4]\)
\(G\)が有限可換群のとき
\(G\)の互いに同型でない既約表現の数は\(|G|\)に等しい。

例題\([1]\)
置換群\(\mathfrak{S}_{n}\)の一次表現をすべて求めよ。

定理\([1]\)
一次表現は群から\(\mathbb{C}^{\times}\)への準同型と同一視できる。

定理\([2]\)
一次表現は既約表現である。

定理\([3]\)
\(G\)を有限群とすると，
\(G\)が可換群\(\,\,\Leftrightarrow\,\,\)既約表現は全て一次表現。

定理\([4]\)
\(G\)が有限可換群のとき
\(G\)の互いに同型でない既約表現の数は\(|G|\)に等しい。

定理\([5]\)
\(G\)の一次表現は可換化\(G^{ab}=G/D(G)\)の一次表現と同一視でき，その個数は\(|G^{ab}|\)である。

定理\([6]\)
有限群\(G\)の任意の既約表現と任意の一次表現のテンソル積は既約表現である。

続いて逆の\(\Leftarrow\)について示すために，既約表現は全て一次であるとする。

既約表現の数を\(m\)個とすると，先ほどと同様の等式により
\(|G|=\chi_{1}(1_{G})^{2}+\chi_{2}(1_{G})^{2}+\cdots+\chi_{m}(1_{G})^{2}\)

仮定より，\(\chi_{i}(1)=1\)であるので\(|G|=m\)となる必要がある。

\(G\)の既約指標の数は\(G\)の共役類の数に等しいので，共役類の個数は\(|G|\)となり，
このためには\(C(g)=\{g\}\quad(\forall g \in G)\)となる必要がある。

よって冒頭で示した必要十分条件より，\(G\)は可換群となる。

したがって\(\Leftarrow\)も示され，題意は示された。

定理[4]について

※定理\([3]\)の証明と同様に指標論の結果などを使えば簡単に証明できますが，
具体的な表現を記述するために指標を用いずに証明します。

\(G\)は有限可換群なので，有限アーベル群の基本定理より，
\(G\cong G_{1}\times\cdots\times G_{t}\)となる，
有限巡回群\(G_{i}=\langle g_i \rangle \quad(1\leq i \leq t)\)が存在する。

\(g_{i}\)の位数を\(n_i\)，\(\omega_i\)を\(1\)の原始\(n_i\)乗根とする。

整数\(l_1,\cdots,l_t\)に対して

\(\rho_{l_1\cdots l_t}(g_i)=\omega_{i}^{l_i}\quad(1 \leq i\leq t)\)

と生成元の値を決めることにより
\(G\)の\(\mathbb{C}\)上の一次表現\(\rho_{l_1\cdots l_t}\)を定めることができる。

また明らかに
全ての\(1\leq i\leq t\)について\(l_i\equiv l_i’\quad(\mathrm{mod}\,\,n_i)\,\,\Leftrightarrow\,\,\rho_{l_1\cdots l_t}=\rho_{l_1’\cdots l_t’}\)
となる。

つまり整数\(l_1,\cdots,l_t\)の余りが同じものは同じ表現で，
余りが異なるものは同型でない表現ということである。

※一次表現では表現が異なると同型でないことは同値であることに注意しましょう。

故に整数\(l_1,\cdots,l_t\)の余りの種類は\(n_1 n_2\cdots n_t\)より，互いに同型でない一次表現が\(n_1 n_2\cdots n_t=|G|\)個得られた。

題意を示すには\(G\)の既約表現がこれらに限ることを示せばよい。

\(G\)の既約表現\(\,\rho\,\)が存在したとすると，定理\([3]\)よりそれは一次表現となる。

\(g_i\)の位数は\(n_i\)より，\(\rho(g_i)^{n_i}=1\)となるので，\(\rho(g_i)\)の値は\(1\)の原始\(n_i\)乗根を用いて書くことができる。

そのため結局，ある整数\(l_1,\cdots,l_t\)が存在して\(\rho=\rho_{l_1\cdots l_t}\)と書ける。

したがって題意は示された。

定理\([5]\)について

\(\rho\)を\(G\)の一次表現とする。

\(\rho\)は\(G\)から可換群\(\mathbb{C}^{\times}\)への準同型であるので，準同型定理より\(G/\mathrm{Ker}\rho\)は可換群となる。

よって交換子群の性質より\(\mathrm{Ker}\rho\supseteq D(G)\)となる。

故に一次表現は\(D(G)\)を核に含む\(G\)なので，剰余群\(G^{ab}=G/D(G)\)の一次表現に対応する。

逆に\(G^{ab}\)の一次表現が\(G\)の一次表現に対応することも明らかである。

これは\(G\)の一次表現は可換化\(G^{ab}\)の一次表現と同一視できることを表す。

また一次表現の個数については\(G^{ab}\)は可換群なので，定理\([4]\)より従う。

したがって題意は示された。

定理\([6]\)について

\(G\)の任意の既約表現\(\rho\)と任意の一次表現\(\phi\)に対して，その指標を\(\chi_{\rho},\chi_{\phi}\)とおく。

まず\(\rho\)の既約性から内積について\((\rho,\rho)=1\)である。

そして一次表現なので\(\chi_{\phi}=\phi\)であり，
\(\overline{\chi_{\phi}(g)}=\chi_{\phi}(g^{-1})=\phi(g)^{-1}\)であることも押さえておく。

すると2つの表現のテンソル積\(\,\rho\otimes\phi\,\)の指標\(\,\chi_{\rho}\chi_{\phi}\,\)の内積について

よって\((\chi_{\rho}\chi_{\phi},\chi_{\rho}\chi_{\phi})=1\)より，\(\rho\otimes\phi\)は既約であることが示され，題意は示された。