主張

※体が分からない人は，実数や複素数の集合\(\mathbb{R},\,\mathbb{C}\)で考えましょう。また\(T_A\)が実際に線形写像となることの証明は簡単なので，省略します。

第一基礎定理は列ベクトル間の任意の線形写像は行列で表現できることを表しています。

そのため第一基礎定理は「なぜ線形代数学という名前なのか？」という問いの答えになっています。

まさに行列が「線形」写像をうまく表す「代数」(数や写像を表すための文字みたいなもの)となっていることを表しているというわけですね。

• 任意の線形写像は行列で表現できる。
• 行列は「線形」写像を良く表す「代数」である。

また一応これは定理ですが，この定理が成り立つように行列の定義がなされているといった歴史があります。

行列が線形写像を表す仕組みを見るために，次節ではその証明を見ていきましょう。

証明

線形代数学の第一基礎定理の証明です。

\(e_1,\cdots,e_n\)をそれぞれ\(K^{n}\)内の単位ベクトルとします。

例えば\(e_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right),\,\,e_2=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right),\,\,e_n=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right)\)です。

単位ベクトルたちが\(K^{n}\)内の基底になっていることが証明のキーポイントです。

\(K^{n}\)から\(K^{m}\)への任意の線形写像\(T\)を取ってきます。

このとき\(i\,\,(1\leq i \leq n)\)について

\(a_i= T(e_i)\)

という\(n\)個の\(m\)項列ベクトル\(a_1,\cdots,a_n\in K^{m}\)をとってきます。

今後分かりやすいように，その成分を

\(a_i=\left(\begin{array}{c}a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{mi}\end{array}\right)\)

と表記することにしましょう。

これらを使って行列\(A\)を次のように構成します。

\(A= \left(\begin{array}{cccc}a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right)\)

このとき\(T=T_{A}\)となることを確認しましょう。

写像が等しいとは，各\(x\in K^{n}\)における値がすべて等しいことですので，
\(T(x)\)と\(T_A(x)\)について調べましょう。

\(x\)を成分表示したものを\(x=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)\)と書くことにします。

そうすると

\(\displaystyle x =\left(\begin{array}{c}x_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0 \\ x_2 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right)+\cdots+\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)=\sum_{i=1}^{n}x_ie_i\)

と\(e_1,\cdots,e_n\)の線形結合で書けることを利用します。

さらにもう一つ

\(T_A(e_i)=Ae_i=\left(\begin{array}{c}a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{mi}\end{array}\right)=a_i\)

となることも利用します。

すると\(T,T_A\)は線形写像なので

※赤で示したところは次節で触れます。

となり，確かに\(T=T_A\)となることが示されました。

最後に一意性を示しましょう。

もし仮に\(T=T_A=T_B\)となる\((m,n)\)行列\(B=(b_{ij})\)が存在したとき，\(A=B\)となることを示せばよいですね。

\(T_A=T_B\)より，任意のベクトル\(x\in K^{n}\)について\(T_A(x)=T_B(x)\)が成り立ちます。

そこで\(x\)として\(e_i\)を代入してみると

よって\(1\leq i\leq n,1 \leq j \leq m\)について
\(a_{ij}=b_{ij}\)となり，これは\(A=B\)を意味します。

したがって一意性も示されました。

これにて証明終了です。

証明のイメージ

前節で証明を確認しましたので，そのイメージについてお話します。

まず線形写像は基底の行き先の情報だけで決まることを確認しましょう。

\(\displaystyle T(x)=\sum_{i=1}^{n}x_iT(e_i)\)を思い出しましょう。

基底\(e_1,\cdots,e_n\)の行き先\(T(e_1),\cdots,T(e_n)\)が決まってしまえば，右辺が確定するので，任意の\(x\)の行き先\(T(x)\)も確定してしまうことが分かります。

次に行列\(A\)は基底の行き先の情報を表していることを確認しましょう。

\(a_i= T(e_i)\)を思い出しましょう。

これは行列\(A\)の列ベクトルが基底の行先の情報を持っていることを表します。

そのため任意の線形写像を，行列がうまく表してしまうのです。
※実際はうまく表すように行列を定義したといった方が正しいです。

応用

第一基礎定理の応用について解説していきましょう。

この定理によって，\(K^{n}\)から\(K^{m}\)の線形写像に関しては，行列でうまく表せることが保証されました。

しかし適用範囲はもっと広いです。

なぜなら第三基礎定理によりこの定理は拡張され，
有限次元のベクトル空間の間の線形写像も行列で表すことにつながるからです。

気になる方は私の「表現行列」の記事を待つか，自分で「表現行列」もしくは「行列表現」について調べてみるとよいでしょう。

調べる際には，斎藤先生や佐竹先生が書かれた線形代数の教科書を参考にすると良いでしょう。

今回の記事では線形代数学の第一基礎定理を解説いたしました。

行列が「線形」写像を表す良い「代数」になっていることを理解していただけたでしょうか。

「なぜ行列の積の定義は複雑なのか？」を説明する続編の線形代数学の第二基礎定理の記事も書きましたので，そちらもご覧いただけると嬉しいです。

また冒頭でも紹介したMathneQ ch.さんの動画もかなり分かりやすいので，そちらも参照するとよいでしょう。

もし「説明がわかりにくい」などご要望・ご感想がありましたら，
X（旧:Twitter）で#トイカラでつぶやいていただけると，できる限り対応します。

ここまで読んでいただき，ありがとうございました。