【超基本_中学校レベル第１０回】文字式 文字式の作り方，文字式の積の表し方
こんにちは！半沢です！
この記事は数学超基本シリーズの中学校レベル第１０回です。
高校生の皆様には簡単な内容ですが復習のつもりで読んでいただけると幸いです。
中学1年生の数学で習う
なお、中学校レベルはこの第１０回をもって一旦終了となります。もし、「続けて欲しい！」という方がいらっしゃいましたら問い合わせフォームでコメントしていただけるとありがたいです。
目次
文字式
文字式とは？
「
実はこの「文字式」という考え方の基本はすでに小学校算数の中で数多く登場しています。
その一例として長方形の面積を考えましょう。
長方形の面積を求める式は下の式で表されました。
(面積)\(=\)(縦の長さ)\(\times\)(横の長さ)
このように，長方形の面積を「縦の長さ」「横の長さ」という文字で表しているので，これは文字式と言えます。
小学校算数の時点ですでに，文字式の考え方にはふれていたのですね。
しかし，長方形の面積を表すときに，いちいち「縦の長さ」「横の長さ」と書くのは面倒くさいです。
そこで中学数学では，代わりに\(a,b,c,\dots,x,y,z\)といった小文字のアルファベットを使います。
先ほどの長方形の面積の例については「縦の長さ」を\(a\)，「横の長さ」を\(b\)と表すとすると，面積は\({\color{#f2541d}a}\times{\color{#1e7bba}b}\)と表せます。
このようにして，小文字のアルファべットを使って文字式を作っていきます。
また，ここまでの流れでは(面積)\(=\)(縦の長さ)\(\times\)(横の長さ)のような「言葉の式」を作り，その後にそれぞれの言葉を\(a\)や\(b\)といった文字におきかえることで文字式を作りました。
この言葉の式\(\to\)文字式という文字式を作る基本的な流れを押さえておきましょう。
- 文字式とは「文字を使って表した式」
なぜ文字を使うのか？
1-1.では文字式について習いましたが，どうして文字を使うのでしょうか。
先ほどの長方形の面積の例で考えてみましょう。
縦の長さを\(a\)，横の長さを\(b\)とすると，面積は\({\color{#f2541d}a}\times{\color{#1e7bba}b}\)で表されるのでしたね。
これに対して長方形の面積を数字で表してみましょう。
例えば縦の長さが\(2\)，横の長さが\(5\)の長方形の面積は\({\color{#f2541d}2}\times{\color{#1e7bba}5}\)のように数字で表されますね。
しかしこの\(2\times5\)は，縦の長さが\(3\)，横の長さが\(4\)のさきほどとは別の長方形の面積である\({\color{#f2541d}3}\times{\color{#1e7bba}4}\)を，もちろん表すことができませんね。
一方，文字で表した\({\color{#f2541d}a}\times{\color{#1e7bba}b}\)は，\(a\)を\(2\)に，\(b\)を\(5\)に「おきかえた」ものを考えると，\({\color{#f2541d}2}\times{\color{#1e7bba}5}\)となり，\({\color{#f2541d}a}\times{\color{#1e7bba}b}\)は\({\color{#f2541d}2}\times{\color{#1e7bba}5}\)を表すことができると言えます。
同じように，\(a\)を\(3\)に，\(b\)を\(4\)に「おきかえた」ものを考えると，\({\color{#f2541d}a}\times{\color{#1e7bba}b}\)は\({\color{#f2541d}3}\times{\color{#1e7bba}4}\)も表すこともできると言えます。
数字では「別の数字におきかえる」ことはできませんが，文字はこの「文字を数字におきかえる」ことが可能なのです。
つまり，文字式は「文字を数字におきかえること」によって，その文字式を使うことのできる範囲が数の場合に比べて広がっています。
長方形の例では下の図のようなイメージです。
ここを通して，文字式について少しは興味がわいたでしょうか。
後々，「文字を数におきかえること」についても学んでいくので，楽しみにしておいてください。
文字式の表し方
積を表すとき
文字式は加法・減法については特にルールはありませんが，乗法・除法についてはいくつかのルールがあります。
ここではまず，乗法のルールについて解説します。
文字式を見やすくするためのルールなので，下のPointで示したルールをしっかりと覚えましょう。
数字と文字，または文字と文字の積では\(\times\)をはぶく。
例 \(3 {\color{#f2541d}\times} a = 3a\) \(a {\color{#f2541d}\times} b = ab\)
数字と文字の積では数字を文字の前に書く
例 \(3 \times a = 3a\) \(a3\)とは書かない
文字の前の数字が\(1\)か\(-1\)のときは「\(1\)」をはぶく
例 \({\color{#08b56a}1} \times a = a\) \(({\color{#08b56a}-1}) \times a = -a\)
同じ文字の積は累乗を使って表す
例 \(a \times a \times a \times a = a ^ {4}\) \(b \times b \times b = b ^ {3}\)
文字と文字の積はアルファベット順に左から並べる
例 \(b \times a = ab\) \(z \times x \times y = xyz\)
\(()\)の中に文字が入っている式は，1つの文字のように考える。
例 \(4 \times {\color{#1e7bba}(x + y)} = 4(x + y)\) \(4x + 4yとは書かない\)
\(3 \times a\)と書くよりも\(3a\)と書いた方が手間がはぶけているように，この6つのルールによって文字式をシンプルに表せます。
例題を通して，文字式の積の表し方をマスターしましょう。
例題
1. (1)，(2)，(3)に示した図のようにマッチを使って正方形を作る。(1)～(4)のときの使うマッチの本数はいくつになるか答えよ。
(1) 正方形\(1\)個
(2) 正方形\(2\)個
(3) 正方形\(3\)個
(4) 正方形\(15\)個
2. (1)～(4)について，文字を使った式で表せ。
(1) 全部で\(n\)脚の椅子がある。そのうち\(5\)脚に人が座っている。このときの人が座っていないイスの個数
(2) 一辺が\(a \,\mathrm{cm}\)の正方形の周の長さ
(3) \(x \,\mathrm{cm}\)あるリボンを，\(3\)人で等しく分けたときの\(1\)人分の長さ
(4) 12時の気温が\(t \,\mathrm{^{\circ}C}\)で，14時には12時より\(5\,\mathrm{^{\circ}C}\)高くなったときの14時の気温
3. 次の式を文字式の表し方にしたがって表せ。
(1) \(a \times b\)
(2) \(y \times x \times z\)
(3) \(5 \times y \times a\)
(4) \((b\,-\,a) \times 3\)
(5) \(x \times \dfrac{5}{2}\)
4. 次の数量を文字を使った式で表せ。
(1) \(a\)と\(b\)の積の\(3\)倍
(2) \(x\)と\(y\)の和の\(5\)倍
5. 次の式を文字式の表し方にしたがって表せ。
(1) \(x \times (-3) + 2\)
(2) \(x \times (-1) + y \times 1\)
(3) \(b \times 1\,-\,0.1 \times a\)
6. 次の式を文字式の表し方にしたがって表せ。
(1) \(a \times a \times a\)
(2) \(b \times b \times 2\)
(3) \(x \times y \times x\)
(4) \(x \times z \times y \times y \times z\)
7. (1)～(4)について，文字式の表し方にしたがって，文字を使った式で表せ。
(1) \(1\)個\(150\)円のなしを\(x\)個買ったときの代金の合計
(2) \(50\,\mathrm{cm}\)のリボンから\(a \,\mathrm{cm}\)のリボンを\(2\)本切り取ったときの残ったリボンの長さ
(3) たて\(3\,\mathrm{cm}\)，横\(y \,\mathrm{cm}\)の長方形の面積
(4) \(1\)本\(x\)円のシャーペン\(2\)本と，\(130\)円のノートを\(1\)冊買ったときの代金の合計
8. (1)～(4)について，文字式の表し方にしたがって，文字を使った式で表せ。
(1) \(1\)個\(a\,(\mathrm{g})\)の果物\(4\)個と，\(1\)個\(b\,(\mathrm{g})\)の果物\(3\)個の合計の重さ
(2) \(3\)人が\(a\)円ずつ出し合ったお金で\(1\)個\(100\)円のリンゴを\(b\)個買って残った金額
例題1解説:文字を使った式
1. (1)，(2)，(3)に示した図のようにマッチを使って正方形を作る。(1)～(4)のときの使うマッチの本数はいくつになるか答えよ。
(1) 正方形\(1\)個
(2) 正方形\(2\)個
(3) 正方形\(3\)個
(4) 正方形\(15\)個
(1)，(2)，(3)は図からマッチの本数はそれぞれ\(4\)本，\(7\)本，\(10\)本となることは分かりますね。
しかし(4)に関しては図が無く，正方形\(15\)個となると自分で図をかくにも大変です。ですので，(1)，(2)，(3)をながめて何か法則性がないか考えましょう。
すると，下のようになっていることに気づきます。
そのためマッチの本数について \((\)正方形に使われるマッチの本数\()+(\)正方形の個数\(-1)\times (\)コの部分に使われるマッチの本数\()\)，
すなわち\(4+(\)正方形の個数\(-1)\times3\)(本)となることがわかります。
(4)の場合は正方形の数が\(15\)個ですから，求めるマッチの本数は\(4+(15-1)\times3=4+42=46\)より\(46\)本となります。
問題としてはここで終わりですが，1-1. 文字式とは？で学んだ流れのように，正方形の個数を\(x\)個とおくことで，マッチの本数について\(4+(x-1)\times3\)という文字式で書けることも押さえておきましょう。
例題2解説:文字式の作り方
2. (1)～(4)について，文字を使った式で表せ。
(1) 全部で\(n\)脚の椅子がある。そのうち\(5\)脚に人が座っている。このときの人が座っていないイスの個数
(2) 一辺が\(a \,\mathrm{cm}\)の正方形の周の長さ
(3) \(x \,\mathrm{cm}\)あるリボンを，\(3\)人で等しく分けたときの\(1\)人分の長さ
(4) 12時の気温が\(t \,\mathrm{^{\circ}C}\)で，14時には12時より\(5\,\mathrm{^{\circ}C}\)高くなったときの14時の気温
1-1.で確認した「言葉の式\(\to\)文字式」という文字式を作る基本的な流れにそって考えましょう。
まず(1)についてです。
言葉の式は(座っていないイスの個数)\(=\)(すべてのイスの個数)\(-\)(座っているイスの個数)ですので，座っていないイスの個数は\(n-5\)(脚)となります。
式に単位をつけるときは，式の後ろに()をつけた「(単位)」と書くこともここでしっかりと押さえておきましょう。
では(2)についてです。
正方形は\(4\)つの長さが等しい辺をもつので，(正方形の周の長さ)\(=\)(一辺の長さ)\(\times 4\)です。よって答えは\(a \times 4 \,(\mathrm{cm})\)となります。
2-1. 積を表すときで学んだ積の積の表し方にしたがえば\(4a\)と書くべきですが，例題2では文字式を作ることが目的なので，まだ\(a \times 4\)と書いていてもOKです。
しかし例題3以降では，文字式の積の表し方にそって解答するようにしましょう。
次に(3)です。
(\(1\)人分のリボンの長さ)\(=\)(もともとのリボンの長さ)\(\div\)(人数)ですので，\(1\)人分のリボンの長さは\(x \div 3 \,(\mathrm{m})\)となります。
最後に(4)です。
気温について(14時の気温)\(=\)(12時の気温)\(+\)(上がった温度)が成り立ちます。
よって答えは\(t + 5 \,(\mathrm{^{\circ}C})\)となります。
例題3解説:積の表し方①
(1) \(a \times b\)
(2) \(y \times x \times z\)
(3) \(5 \times y \times a\)
(4) \((b\,-\,a) \times 3\)
(5) \(x \times \dfrac{5}{2}\)
2-1. 積を表すときで学んだルールにしたがって解答を行いましょう。
(1) \(a \times b = ab\)
\(\times\)を省略。
(2) \(y \times x \times z = xyz\)
\(\times\)を省略し，アルファベット順に並べる。
(3) \(5 \times y \times a = 5ay\)
\(\times\)を省略し，アルファベット順に並べる。
(4) \({\color{#1e7bba}(b\,-\,a)} \times 3 = 3(b\,-\,a)\)
\({\color{#1e7bba}(b\,-\,a)}\)を一つの文字のように扱い，\(\times\)を省略。
(5) \(x \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{2}x\)
\(\times\)を省略。
例題4解説:積の表し方②
4. 次の数量を文字を使った式で表せ。
(1) \(a\)と\(b\)の積の\(3\)倍
(2) \(x\)と\(y\)の和の\(5\)倍
この問題も例題3と同様に2-1.で学んだルールにしたがっていくだけですね。
(1)の答えは数字を文字の前に書くこと，文字はアルファベット順に並べることで答えは\(a \times b \times 3 = 3ab\)となることがわかります。
(2)の答えは\((x + y)\)を一つの文字のように扱い，数字を文字の前に書くことから答えは\((x + y) \times 5 = 5(x + y)\)と分かります。
例題5解説:積の表し方③
5. 次の式を文字式の表し方にしたがって表せ。
(1) \(x \times (-3) + 2\)
(2) \(x \times (-1) + y \times 1\)
(3) \(b \times 1\,-\,0.1 \times a\)
ここでは特に「文字の前の数字が\(1\)か\(-1\)のときは「\(1\)」をはぶく」ことに注意しましょう。
(1) \(x \times (-3) + 2 = -3x +2\)
数字を文字の前に書く。
(2) \(x \times (-1) + y \times 1 = -x + y\)
\(1\)を省く。
(3) \(b \times 1\,-\,0.1 \times a = b\,-\,0.1a\)
\(1\)を省く。
文字の前の数字が\(1\)か\(-1\)のときに\(1\)を省くので，(3)では\(0.1\)の\(1\)は省かないように注意しましょう。
例題6解説:積の表し方④
6. 次の式を文字式の表し方にしたがって表せ。
(1) \(a \times a \times a\)
(2) \(b \times b \times 2\)
(3) \(x \times y \times x\)
(4) \(x \times z \times y \times y \times z\)
ここでは特に「同じ文字の積は累乗を使って表す」ことに注意しましょう。
(1) \(a \times a \times a = a^{3}\)
累乗を使って表す。
(2) \(b \times b \times 2 = 2b^{2}\)
数字を文字の前に書いて，累乗を使って表す。
(3) \(x \times y \times x = x^{2}y\)
アルファベット順に並べて，累乗を使って表す。
(4) \(x \times z \times y \times y \times z = xy^{2}z^{2}\)
アルファベット順に並べて，累乗を使って表す。
例題7解説:積の文字式を作る(一文字)
7. (1)～(4)について，文字式の表し方にしたがって，文字を使った式で表せ。
(1) \(1\)個\(150\)円のなしを\(x\)個買ったときの代金の合計
(2) \(50\,\mathrm{cm}\)のリボンから\(a \,\mathrm{cm}\)のリボンを\(2\)本切り取ったときの残ったリボンの長さ
(3) たて\(3\,\mathrm{cm}\)，横\(y \,\mathrm{cm}\)の長方形の面積
(4) \(1\)本\(x\)円のシャーペン\(2\)本と，\(130\)円のノートを\(1\)冊買ったときの代金の合計
文字式を作り，その文字式を正しく表すことができるのかを確認するための問題です。これまでの例題で身に着けたことを丁寧に行いましょう。
最初に(1)についてです。
(代金の合計)\(=\)(なしの値段)\(\times\)(買ったなしの個数)ですので，代金の合計は\(150 \times x\)(円)となります。
しかしここで終わってはいけません。積の表し方のルールにしたがって，代金の合計は\(150x\)(円)と書きましょう。
(2)についてです。
(残ったリボンの長さ)\(=\)(もともとのリボンの長さ)\(-\)(切り取ったリボンの長さ)ですので，答えは積の表し方にしたがって，\(50\,-\,2a \,(\mathrm{cm})\)となります。
(3)についてです。
(長方形の面積)\(=\)(縦の長さ)\(\times\)(横の長さ)ですので，答えは積の表し方にしたがって，\(3y \,(\mathrm{cm^2})\)となります。
最後に(4)についてです。
(代金の合計)\(=\)(シャーペンの値段)\(\times\)(シャーペンの本数)\(+\)(ノートの値段)\(\times\)(ノートの個数)です。
よって答えは積の表し方にしたがって，\(2x + 130\)(円)となります。
例題8解説:積の文字式を作る(二文字)
(1) \(1\)個\(a\,(\mathrm{g})\)の果物\(4\)個と，\(1\)個\(b\,(\mathrm{g})\)の果物\(3\)個の合計の重さ
(2) \(3\)人が\(a\)円ずつ出し合ったお金で\(1\)個\(100\)円のリンゴを\(b\)個買って残った金額
文字数が増えたといっても例題7とやることは変わらないので，落ち着いて解きましょう。
では(1)についてです。
(重さの合計)\(= a \times\)(\(a\,(\mathrm{g})\)の果物の個数)\(+ b \times\)(\(b\,(\mathrm{g})\)の果物の個数)ですので，答えは積の表し方にしたがって，\(4a + 3b\,(\mathrm{g})\)となります。
(2)についてです。
(残った金額)\(=\)(もともとの金額)\(-\)(使った金額)ですので，答えは積の表し方にしたがって，\(3a\,-\,100b\)(円)となります。
例題の解答を見る
1
(1) \(4\)本 (2) \(7\)本
(3) \(10\)本 (4) \(4+3\times(15-1)=46\)より\(46\)本
2
(1) \(n-5\)(脚) (2) \(4 \times a\,(\mathrm{cm})\)
(3) \(x \div 3\,(\mathrm{m})\) (4) \(t + 5\,(\mathrm{^{\circ}C})\)
3
(1) \(a \times b = ab\)
(2) \(y \times x \times z = xyz\)
(3) \(5 \times y \times a = 5ay\)
(4) \((b\,-\,a) \times 3 = 3(b\,-\,a)\)
(5) \(x \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{2}x\)
4
(1) \(3ab\) (2) \(5(x + y)\)
5
(1) \(x \times (-3) + 2 = -3x + 2\)
(2) \(x \times (-1) + y \times 1 = -x + y\)
(3) \(b \times 1\,-\,0.1 \times a = b\,-\,0.1a\)
6
(1) \(a \times a \times a = a^{3}\)
(2) \(b \times b \times 2 = 2ab\)
(3) \(x \times y \times x = x^{2}y\)
(4) \(x \times z \times y \times y \times z = xy^{2}z^{2}\)
7
(1) \(150x\)(円) (2) \(50\,-\,2a\,(\mathrm{cm})\)
(3) \(3y\,(\mathrm{cm^2})\) (4) \(2x\,+\,130\)(円)
8
(1) \(4a + 3b\,(\mathrm{g})\) (2) \(3a\,-\,100b\)(円)
練習問題にチャレンジ
1. (1)，(2)，(3)に示した図のようにマッチを使って正三角形を作る。(1)～(4)のときの使うマッチの本数はいくつになるか答えよ。
(1) 正三角形\(1\)個
(2) 正三角形\(2\)個
(3) 正三角形\(3\)個
(4) 正三角形\(21\)個
2. (1)～(4)について，文字を使った式で表せ。
(1) \(n\)脚のイスには人が座っている。人が座っていないイスは\(3\)脚ある。このときのすべてのイスの数
(2) 一辺が\(a \,\mathrm{cm}\)の正五角形の周の長さ
(3) \(x \,\mathrm{cm}\)あるリボンを，\(7\)人で等しく分けたときの\(1\)人分の長さ
(4) 12時の気温が\(t \,\mathrm{^{\circ}C}\)で，14時には12時より\(6\,\mathrm{^{\circ}C}\)低くなったときの14時の気温
3. 次の式を文字式の表し方にしたがって表せ。
(1) \(a \times 7\)
(2) \(d \times c \times b\)
(3) \(y \times (-2) \times x\)
(4) \(\dfrac{3}{4} \times a\)
(5) \((x + y) \times 10\)
4. 次の数量を文字を使った式で表せ。
(1) \(9\)と\(a\)の積の\(b\)倍
(2) \(x\)から\(y\)を引いた差の\(11\)倍
5. 次の式を文字式の表し方にしたがって表せ。
(1) \((-1) \times x + 7\)
(2) \((-2) \times (x + 7y) + 5\)
(3) \(0.1 \times a + 0.01 \times b\)
6. 次の式を文字式の表し方にしたがって表せ。
(1) \(x \times x\)
(2) \(y \times (-4) \times y\)
(3) \(b \times a \times a\)
(4) \(b \times b \times a \times b \times c\)
7. (1)～(4)について，文字式の表し方にしたがって，文字を使った式で表せ。
(1) \(1\)個\(x\)円のなしを\(5\)個買ったときの代金の合計
(2) \(100\,\mathrm{cm}\)のリボンから\(a \,\mathrm{cm}\)のリボンを\(3\)本切り取ったときの残ったリボンの長さ
(3) 一辺の長さが\(x\,\mathrm{cm}\)の正方形の面積
(4) \(1\)本\(100\)円のシャーペン\(x\)本と，\(250\)円のノートを\(2\)冊買ったときの代金の合計
8. (1)～(4)について，文字式の表し方にしたがって，文字を使った式で表せ。
(1) もともと持っている金額が\(x\)円で，お年玉として\(y\)人の親戚からそれぞれ\(5000\)円ずつもらった後の手持ちの金額
(2) 重さが\(a\,(\mathrm{g})\)の箱に野菜が入っている。箱と野菜の全体の重さが\(w\,(\mathrm{g})\)のときの野菜の重さ
練習問題の解答を見る
1
(1) \(3\)本 (2) \(5\)本
(3) \(7\)本 (4) \(3+2\times(21-1)=43\)より\(43\)本
2
(1) \(n+3\)(脚) (2) \(5 \times a\,(\mathrm{cm})\)
(3) \(x \div 7\,(\mathrm{m})\) (4) \(t\,-\,6\,(\mathrm{^{\circ}C})\)
3
(1) \(a \times 7 = 7a\)
(2) \(d \times c \times b = bcd\)
(3) \(y \times (-2) \times x = -2xy\)
(4) \(\dfrac{3}{4} \times a = \dfrac{3}{4}a\)
(5) \((x + y) \times 10 = 10(x + y)\)
4
(1) \(9ab\) (2) \(11(x\,-\,y)\)
5
(1) \((-1) \times x + 7 = -x + 7\)
(2) \((-2) \times (x + 7y) + 5 = -2(x + y) + 5\)
(3) \(0.1 \times a + 0.01 \times b = 0.1a + 0.01b \)
6
(1) \(x \times x = x^{2}\)
(2) \(y \times (-4) \times y = -4y^{2}\)
(3) \(b \times a \times a = a^{2}b\)
(4) \(b \times b \times a \times b \times c = ab^{3}c\)
7
(1) \(5x\)(円) (2) \(100 – 3a\,(\mathrm{cm})\)
(3) \(x^{2}\,(\mathrm{cm^2})\) (4) \(100x + 500\)(円)
8
(1) \(x + 5000y\)(円) (2) \(w\,-\,a\,(\mathrm{g})\)
