【超基本_中学校レベル第7回】乗法と指数
こんにちは、明智です。
この記事は数学超基本シリーズの中学校レベル第7回です。
高校生の皆様には簡単な内容ですが復習のつもりで読んでいただけると幸いです。
中学1年生の数学で習う乗法(累乗を含む)に関する例題を解説します。
目次
乗法
乗法の交換法則・結合法則
加法と同じように乗法でも交換法則・結合法則が成り立ちます。
乗法の交換法則
乗法の結合法則
結合法則の例を見てみると等号の左側(左辺)のように計算すると,
次に,右辺のように計算すると,
右辺のように計算する方が楽に答えを求められますね。このように答えがやなどのキリのいい数字になる掛け算を先にすることで,スムーズに答えを求められることがあります。
の他に,
,
などは頻出なので見つけたらこの組み合わせを先に計算することができないか考えるようにしましょう。
負の数の個数で符号を決定する
2つの数どうしの掛け算をするときは,異符号どうしの積は負,同符号どうしの積は正になりましたね。しかし,つ以上の数の掛け算をするときに毎回このようにして符号を決定するのは大変ですよね。
そこで,掛け算の符号がどのように決まるのか観察してみましょう。
ここでは符号だけについて考えるので正の数を(+),負の数を(-)で表します。また,正の数に正の数を何回かけても正の数になることを利用すれば,交換法則と結合法則を用いて全ての正の数は1個の(+)で代表できますね。
上の結果から
負の数が奇数個なら積は負
負の数が偶数個なら積は正
と言えそうですね。
これは2つの負の数をかけると正の数になることが関係しています。負の数が奇数個の時は負の数のペアを作っていくと負の数がつ余ります。したがって積の符号は負となります。
反対に負の数が偶数個の時は負の数のペアを作っていくとちょうど全ての負の数がペアを作ることができます。したがって積の符号は正になるというわけです。
累乗
例えばを回かけることを式で表そうとするとき
と書くのは大変ですよね。そこで
という書き方を考えます。
これは繰り返しかける数の右上(右肩)にかける回数を書くというものです。この時,右肩に書かれた数を指数と言い,はの乗(にのごじょう)と読みます。
そして,このような同じ数を何度もかける計算を累乗と言います。(累という字は重ねるという意味を表しています。何回も重ねて掛け算をするということですね。)
また,負の数の累乗の書き方には注意が必要です。例えば,を回かける計算はと表します。すなわち
です。
一方で,というものも存在します。これはにマイナス符号をつけたものを表しています。すなわち
ということです。
等式・不等式
また,等式・不等式の左側の式を左辺,右側の式を右辺,左辺と右辺をまとめて両辺と言います。
不等号の例として,<や>がありましたね。ここからは,とも加わります。これらはそれぞれ,「小なりイコール」,「大なりイコール」と読みます。
は左辺が右辺より小さいまたは右辺と等しいことを表し,は左辺が右辺より大きいまたは右辺と等しいことを表します。
例えば,はより小さいのでは正しいです。また,はと等しいのでも正しいです。
それから,はより大きいのでは正しいです。また,はと等しいのでも正しいです。
反対に,やは正しくないですね。
例題
1. 次の計算を求めよ。
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2. 次の計算を求めよ。
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3. との大小を不等号で表せ。また,との大小を不等号で表せ。
4. 次の計算を求めよ。
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5. 次の計算を求めよ。
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6. 次の計算を求めよ。
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例題1解説:整数の乗法
1. 次の計算を求めよ。
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例題2解説:分数・小数の乗法
2. 次の計算を求めよ。
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かける数,かけられる数が小数や分数になっても同じように計算できます。
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例題3解説:大小比較
3. との大小を不等号で表せ。また,との大小を不等号で表せ。
との大小の大小関係はと書けますね。もちろんも正しいですが,とが等しくないことはわかっているので,「との大小を不等号で表せ。」という問題にはと答えるのが普通です。
また,
であり,です。よってとなります。
例題4解説:乗法の結合法則
4. 次の計算を求めよ。
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3つ以上の数の乗法では,まず負の数が何個あるかを数えて符号を決定します。その後は絶対値の掛け算です。分配法則・結合法則を使って計算を楽にしましょう。
このように分配法則・結合法則を使えば,乗法の順序は自由に入れ替えることができます。
例題5解説:複雑な計算
5. 次の計算を求めよ。
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計算がややこしくなると符号の決定がおろそかになりがちです。まず符号を決めることを忘れないようにしましょう。
例題6解説:累乗の計算
6. 次の計算を求めよ。
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累乗の表記による違いをきちんとおさえましょう。
例題の解答を見る
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練習問題にチャレンジ
1. 次の計算を求めよ。
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2. 次の計算を求めよ。
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3. 次の計算を求めよ。
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