乗法の交換法則・結合法則

加法と同じように乗法でも交換法則・結合法則が成り立ちます。

乗法の交換法則

乗法の結合法則

結合法則の例を見てみると等号の左側(左辺)のように計算すると，

次に，右辺のように計算すると，

右辺のように計算する方が楽に答えを求められますね。このように答えが\(100\)や\(1000\)などのキリのいい数字になる掛け算を先にすることで，スムーズに答えを求められることがあります。

\(5\times20=100\)の他に，

\(4\times25=100\),
\(8\times125=1000\)
などは頻出なので見つけたらこの組み合わせを先に計算することができないか考えるようにしましょう。

負の数の個数で符号を決定する

2つの数どうしの掛け算をするときは，異符号どうしの積は負，同符号どうしの積は正になりましたね。しかし，\(3\)つ以上の数の掛け算をするときに毎回このようにして符号を決定するのは大変ですよね。

そこで，掛け算の符号がどのように決まるのか観察してみましょう。

ここでは符号だけについて考えるので正の数を(+),負の数を(-)で表します。また，正の数に正の数を何回かけても正の数になることを利用すれば，交換法則と結合法則を用いて全ての正の数は1個の(+)で代表できますね。

上の結果から
負の数が奇数個なら積は負
負の数が偶数個なら積は正
と言えそうですね。

これは2つの負の数をかけると正の数になることが関係しています。負の数が奇数個の時は負の数のペアを作っていくと負の数が\(1\)つ余ります。したがって積の符号は負となります。

反対に負の数が偶数個の時は負の数のペアを作っていくとちょうど全ての負の数がペアを作ることができます。したがって積の符号は正になるというわけです。

累乗

例えば\(2\)を\(5\)回かけることを式で表そうとするとき
\(2\times2\times2\times2\times2\)
と書くのは大変ですよね。そこで
\(2^5\)
という書き方を考えます。

これは繰り返しかける数の右上(右肩)にかける回数を書くというものです。この時，右肩に書かれた数を指数と言い，\(2^5\)は\(2\)の\(5\)乗(にのごじょう)と読みます。

そして，このような同じ数を何度もかける計算を累乗と言います。(累という字は重ねるという意味を表しています。何回も重ねて掛け算をするということですね。)

また，負の数の累乗の書き方には注意が必要です。例えば，\(-2\)を\(5\)回かける計算は\((-2)^5\)と表します。すなわち
\((-2)^5=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)\)
です。

一方で，\(-2^5\)というものも存在します。これは\(2^5\)にマイナス符号をつけたものを表しています。すなわち
\(-2^5=-(2\times2\times2\times2\times2)\)
ということです。

また，等式・不等式の左側の式を左辺，右側の式を右辺，左辺と右辺をまとめて両辺と言います。

不等号の例として，<や>がありましたね。ここからは，\(\leqq\)と\(\geqq\)も加わります。これらはそれぞれ，「小なりイコール」，「大なりイコール」と読みます。

\(\leqq\)は左辺が右辺より小さいまたは右辺と等しいことを表し，\(\geqq\)は左辺が右辺より大きいまたは右辺と等しいことを表します。

例えば，\(2\)は\(5\)より小さいので\(2\leqq5\)は正しいです。また，\(2\)は\(2\)と等しいので\(2\leqq2\)も正しいです。

それから，\(4\)は\(3\)より大きいので\(4\geqq3\)は正しいです。また，\(4\)は\(4\)と等しいので\(4\geqq4\)も正しいです。
反対に，\(5\leqq2\)や\(3\geqq4\)は正しくないですね。