定義

定義域を\(\,D_p\,\)と定めている理由は，べき級数\(\,\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}\,\)の収束域が\(\,D_p\,\)となるためです。

\(\exp_p\,\)の収束域にその証明を載せていますので，必要に応じてご参照ください。ルジャンドルの公式がかなり活躍します。

定義から収束域\(\,D_p\,\)は\(\,1\,\)を含まないことから，
実数\(\,e\,\)に対応する数が\(\,p\,\)進体\(\,\mathbb{Q}_p\,\)にはないという面白いことが分かりますね。

基本的な性質

性質\(\,[1]\,\)は実数\(\,\mathbb{R}\,\)においてでも成り立ちますが，
性質\(\,[2],[3],[4]\,\)は\(\,p\,\)進体\(\,\mathbb{Q}_p\,\)ならではの性質になります。

\(\exp_p\,\)が等長写像であることなどは興味深いですね。

\([1]\,\)の証明はこちら，\(\,[2],[3]\,\)の証明はこちらに載せています。

\([4]\,\)は証明に\(\,p\,\)進対数関数\(\,\log_p\,\)を用いるため，\(\,p\,\)進対数関数の記事を書くときに補足したいと思います。

今回の記事では\(\,p\,\)進指数関数(p-adic exponential function)を解説いたしました。

定義域が\(\,\mathbb{Q}_p\,\)全体でないことや，等長写像であることなどの，実数の場合とは異なった面白い性質ばかりでしたね。

少々難しいですが，補足として証明も載せているので，良ければそちらもご覧ください。

もし「説明がわかりにくい」などご要望・ご感想がありましたら，
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ここまで読んでいただき，ありがとうございました。

\(\,\exp_p\,\)の収束域

ここでは次のことを示していきます。

まず\(\,D_p\,\)において収束することを示していきましょう。

ルジャンドルの公式から\(\,n!\,\)の\(\,p\,\)進付値について

\(v_p(n!)=\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\biggl\lfloor\dfrac{n}{p^{k}}\biggr\rfloor\lt \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{n}{p^{k}}=\dfrac{n}{p-1}\,\)

と評価できるので，\(\,\sqrt[n]{\biggl|\dfrac{1}{n!}\biggr|_p}=\sqrt[n]{p^{v_p(n!)}}\lt p^{\frac{1}{p-1}}\,\)より

\(\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\biggl|\dfrac{1}{n!}\biggr|_p}\leq p^{\frac{1}{p-1}}\)

したがってコーシー–アダマールの定理(wiki)(※\(\,\mathbb{Q}_p\,\)でも成り立ちます)より，
\(\exp_p(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}\,\)の収束半径は\(\,p^{-\frac{1}{p-1}}\,\)以上です。

ゆえに\(\,D_p\,\)において収束することは示されました。

続いて\(\,x\not\in D_p\,\)，すなわち\(\,|x|_p\geq p^{-\frac{1}{p-1}}\,\)となる点\(\,x\in \mathbb{Q}_p\,\)において発散することを示していきましょう。

\(n=p^{m}\,\,(m\in \mathbb{N})\,\)において，再びルジャンドルの公式から

\(v_p(n!)=\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\biggl\lfloor\dfrac{p^{m}}{p^{k}}\biggr\rfloor= \sum_{k=1}^{m}p^{m-k}=\dfrac{p^{m}-1}{p-1}\,\)

となることと，\(\,|x|_p\geq p^{-\frac{1}{p-1}}\Leftrightarrow v_p(x)\leq \dfrac{1}{p-1}\,\)を利用すれば，

\(v_p\biggr(\dfrac{x^n}{n!}\biggl)=nv_p(x)-v_p(n!)\leq \dfrac{p^m}{p-1}-\dfrac{p^{m}-1}{p-1}=\dfrac{1}{p-1}\)

つまり\(\,v_p\biggr(\dfrac{x^n}{n!}\biggl)\leq \dfrac{1}{p-1}\Leftrightarrow \biggl|\dfrac{x^n}{n!}\biggr|_p\geq p^{-\frac{1}{p-1}}\,\)となります。

これは\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}\not=0\,\)を意味するので，
その級数である\(\exp_p(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}\,\)は発散します。

以上より題意は示されました。\(\quad\square\)

性質\(\,[1]\,\)

上の性質\(\,[1]\,\)の証明を行っていきます。

まず\(\,x,y\in D_p \Rightarrow x+y\in D_p\,\)を確認しましょう。

\(|x|_p,|y|_p\lt p^{-\frac{1}{p-1}}\,\)と\(\,|\cdot|_p\,\)が非アルキメデス的であることから

\(|x+y|_p\leq \max\{|x|_p,|y|_p\}\lt p^{-\frac{1}{p-1}}\)

となり，\(\,x+y\in D_p\,\)であることが示されました。

そこで\(\,\exp_p(x+y)\,\)を考えることができ，次の式変形が成り立ちます。

したがって題意は示されました。\(\quad\square\)

性質\(\,[2],[3]\,\)

上の性質\(\,[2],[3]\,\)を証明を行っていきましょう。

そのためには任意の\(\,x\in D_p\,\)について

\(|\exp_p(x)-1|_p=|x|_p\,\)

を示せば十分であることを確認しましょう。

まず性質\(\,[2]\,\)について考えましょう。

\(\mathbb{Q}_p\,\)は超距離空間なので(分からない方は要望があれば超距離空間の記事を書きます)，
\(\,3\,\)点\(\,0,\exp_p(x),1\,\)のなす三角形は二等辺三角形です。

ここで\(\,|x|_p\lt p^{-\frac{1}{p-1}}\lt 1\,\)より

\(|\exp_p(x)-1|_p\lt 1\,\)

であるので，\(\,|1|_p=1\,\)に注意すると，
三点\(\,0,\exp_p(x),1\,\)のなす三角形の最短辺は\(\,2\,\)点\(\,\exp_p(x),1\,\)を結ぶ辺になります。

超距離空間の性質から，三角形では最短辺以外の\(\,2\,\)辺の長さが等しくなります。

よって

\(|\exp_p(x)|_p=1\,\)

となり，性質\(\,[2]\,\)が得られました。

続いて性質\(\,[3]\,\)について考えましょう。

上で示した性質\(\,[1]\,\)を使えば，任意の\(\,x,y\in D_p \)について

\(\exp_p(x)-\exp_p(y)=\exp_p(y)(\exp_p(x-y)-1)\)

であるので，さらに先ほど導いた性質\(\,[2]\,\)と\(\,|\exp_p(x)-1|_p=|x|_p\,\)を用いれば

\(|\exp_p(x)-\exp_p(y)|_p=|\exp_p(y)|_p|\exp_p(x-y)-1|_p=|x-y|_p\)

となり，性質\(\,[3]\,\)が得られました。

そこで残りは\(\,|\exp_p(x)-1|_p=|x|_p\,\)を示せば良いですね。

まず\(\,x\in D_p\,\)より\(\,v_p(x)\gt \dfrac{1}{p-1}\,\)を思い出しましょう。

またルジャンドルの公式(別ver.)から
自然数\(\,n\,\)を\(\,p\,\)進法で表示したのときの各桁の和を\(\,s\,\)とおくと，

\(v_p(n!)=\dfrac{n-s}{p-1}\,\)となることも思い出しましょう。

すると\(\,n\geq 2\,\)のとき(この仮定は以下の不等式で\(\,=\,\)を除くために必要です)

\(v_p\biggl(\dfrac{x^{n-1}}{n!}\biggr)=(n-1)v_p(x)-v_p(n!)>\dfrac{n-1}{p-1}-\dfrac{n-s}{p-1}=\dfrac{s-1}{p-1}\,\)

となります。

\(n\,\)は自然数で，\(\,p\,\)進法表示で\(\,1\,\)以上の数となるような桁が存在するので\(\,s\geq 1\,\)です。

よって上の不等式は結局

\(v_p\biggl(\dfrac{x^{n-1}}{n!}\biggr)>0\Leftrightarrow \biggl|\dfrac{x^{n-1}}{n!}\biggr|_p\lt 1\)

となります。右側の式の両辺に\(\,|x|_p\,\)をかけて

\(\biggl|\dfrac{x^{n}}{n!}\biggr|_p\lt |x|_p\,\,(n\geq 2)\)

となります。これを利用すると，超距離空間の級数の不等式から

\(|(\exp_p(x)-1)-x|_p=\displaystyle \biggl|\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}\biggr|\leq \max_{n\geq 2}\biggl|\dfrac{x^{n}}{n!}\biggr|_p\lt |x|_p\)

つまり不等式\(\,|(\exp_p(x)-1)-x|_p\lt |x|_p\,\)が得られます。

\(3\,\)点\(\,\exp_p(x)-1,x,0\,\)からなる三角形を超距離空間で考えると，
先程の不等式は\(\,2\,\)点\(\,\exp_p(x)-1,x,\,\)を結ぶ辺が最短辺であることを意味します。

よって

\(\,|\exp_p(x)-1|_p= |x|_p\,\)

が得られます。

以上より題意は示されました。\(\quad\square\)

• \([1]\) “コーシー–アダマールの定理”.Wikipedia.2021-07-12更新.https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E2%80%93%E3%82%A2%E3%83%80%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86.2025-01-23参照
• \([2]\) Fernando Q. Gouvêa. “p-adic Numbers”.Third Edition.Springer Cham.2020.p.145-150.