そもそも交換子とは？

まずは交換子(commutator)について確認しましょう。

交換子と言われる理由は，次のように$g$と$h$の交換(可換)性の情報を持つからです。

証明は$ghg^{-1}h^{-1}=1_{G}$の両辺に右から$hg$を掛ける(逆はその逆操作を行う)だけです。

その他，$g,k \in G$について，$g$の$k$についての共役を$g^{k}=kgk^{-1}$と定義すると，
下のような計算法則が成り立ちます。

1. $[g,h]=[h,g]^{-1}$
2. $[g,h]^{k}=[g^{k},h^{k}]$
3. $[gh,k]=[h,k]^{g}[g,k]$
4. $[k,gh]=[k,g][k,h]^{g}$

証明はただの計算ですので，省略させてください。

※教科書によっては逆の$[g,h]’=g^{-1}h^{-1}gh$で定義されることもあります。

上で定義したものと$[g,h]=[g,h]’^{-1}$の関係があり，先程の計算法則はやや異なった表式になります。

しかし，この違いが決定的になることは(私の知る限り)ないです。

実際今回のテーマである交換子群はその定義を確認してもらえれば，交換子の定義にはよらないことが分かります。

定義

それでは交換子群(commutator subgroup)の定義を確認しましょう。

言葉で言い換えれば次のようになります。

性質

交換子群の性質として次のことが知られています。

特に性質$[2]$は，交換子群が剰余群が可解群となる部分群の中で最小であることを表し，
かなり応用の利くものです。

また$G/D(G)$は$G$をできるだけ崩さずに可換にしたものと考えられるため，
これを$G$の可換化と呼び，$G^{ab}=G/D(G)$と表します。

abは可換化(abelianization)から来ています。

これらの性質は証明をせずともかなり直感的に理解することができます。

なぜなら剰余群$G/D(G)$は言わば，$D(G)$元が単位元になっているような空間です。

もちろん$G$の任意の交換子は$D(G)$の元ですので，単位元になってしまいます。

そもそも交換子とは？で確認したように$[g,h]=1_{G}\Leftrightarrow gh=hg$ですので，性質$[1],[2]$が成り立つわけです。

性質$[1]$では「$[g,h]=1_{G}\Leftrightarrow gh=hg$」の「$\Rightarrow$」を，性質$[2]$ではその同値性「$\Leftrightarrow$」の影響が出ているのですね。

応用についてはこちらの節に，証明はこちらの節に載せていますので確認していただけると嬉しいです。

具体例

まずは一番基本的な加法群$\mathbb{Z}$の交換子群$D(\mathbb{Z})$について考えましょう。

任意の$n,m \in \mathbb{Z}$について
$[n,m]=n+m+(-n)+(-m)=0$ですので，$\mathbb{Z}$の交換子は全て$0$(単位元)となってしまいます。

よって$D(\mathbb{Z})=\{0\}$です。

同様にして可換群$A$について$D(A)=\{1_{A}\}$であることが分かります。

$n\geq 3$のとき，非可換群となる$\mathfrak{S}_n$についてはどうでしょうか？

実は$D(\mathfrak{S}_n)=\mathfrak{A}_n$となります。

証明は長いため参考図書[1]に任せますが，$n\geq 5$の時，交代群$\mathfrak{A}_n$は非可換単純群であるという性質から$D(\mathfrak{S}_n)=\mathfrak{A}_n\,(n\geq 5)$となることを導けます。

そして残りの$n\lt 5$のときも，手計算により$D(\mathfrak{S}_n)=\mathfrak{A}_n$となることが分かるからです。

応用

ここでは交換子群が今後どのように役に立つのかを解説していきたいと思います。

まず【群論】可解群とは？　なぜ方程式の可解性と関係するのか？まで解説で解説したように，
可解群の判定に用いることができます。

また有限群の表現論においては，性質$[2]$が成り立つことから
$G$の$1$次表現と可換化$G^{ab}=G/D(G)$の表現を同一視できるという，
かなり便利な定理を導けます。

この記事では交換子群について解説してきました。

応用で話したように有限群の表現論において，可換化$G^{ab}$はかなり重要な群になりますので，興味のある方は絶対に押さえておきましょう。

もし「説明がわかりにくい」などご要望・ご感想がありましたら，
X（旧:Twitter）で#トイカラでつぶやいていただけると，できる限り対応します。

最後に参考図書や性質$[1],[2]$の証明も載せてあるので，気になる方は覗いてみてください。

ここまで読んでいただき，ありがとうございました。

1. 近藤武.  “群論　岩波基礎数学選書” .初版.岩波書店.1991出版.p117-119,254-256.
2. 雪江明彦. “代数学1　群論入門” .初版.日本評論社.2010出版.p101.

次の性質$[1],[2]$を証明していきましょう。

それでは証明です。