定義\([1]\)
群\(G\)の正規部分群の列（正規列）\(G=G_0\vartriangleright G_1\vartriangleright\cdots\vartriangleright G_n=\{1_G\}\)で，
\(i=1,2,\dots,n\)について
\(G_{i-1}/G_{i}\)が可換群となるものが存在するとき，
\(G\)を可解群と呼ぶ。

定義\([2]\)
\(D_{n}(G)=\{1_G\}\)となるような
\(G\)の\(n\)次交換子群\(D_{n}(G)\)が存在するとき，
\(G\)を可解群と呼ぶ。

定義\([3]\)
\(G\)の正規列\(G=G_0\vartriangleright G_1\vartriangleright\cdots\vartriangleright G_n=\{1_G\}\)で，
\(G_{i-1}/G_{i}\)が巡回群となるものが存在するとき，
\(G\)を可解群と呼ぶ。

定義\([4]\)
\(G\)の正規列\(G=G_0\vartriangleright G_1\vartriangleright\cdots\vartriangleright G_n=\{1_G\}\)で，
\(G_{i-1}/G_{i}\)が素数位数の群となるものが存在するとき，
\(G\)を可解群と呼ぶ。

定義\([3]\)
\(G\)の正規列\(G=G_0\vartriangleright G_1\vartriangleright\cdots\vartriangleright G_n=\{1_G\}\)で，
\(G_{i-1}/G_{i}\)が巡回群となるものが存在するとき，
\(G\)を可解群と呼ぶ。

方程式\(f(x)=0\)が可解である。
\(\Leftrightarrow\)方程式\(f(x)=0\)に対応する群が可解群である。

[証明] \((\mathrm{i})[1]\Rightarrow[2]\)について

仮定より，
群\(G\)の可換正規列\(G=G_0\vartriangleright G_1\vartriangleright\cdots\vartriangleright G_n=\{1_G\}\)が存在する。
\((i=1,2,\dots,n)\)

このとき\(G_{i-1}\vartriangleright G_{i}\)かつ\(G_{i-1}/G_{i}\)は可換群という条件から，
交換子群の性質より\(D(G_{i-1})\subset G_{i}\)である。

\(D(G_{i-1})\subset G_{i}\)を利用して\(D_{i}(G)\subset G_{i}\)を示せば，
\(i=n\)とすることで\(D_{n}(G)\subset\{1_G\}\)，
すなわち\(D_{n}(G)=\{1_G\}\)が分かり，\([1]\Rightarrow[2]\)は示される。

よって\(D_{i}(G)\subset G_{i}\,(i=1,2,\dots,n)\)を，\(i\)についての数学的帰納法で示す。

\(i=1\)のとき（\(D(G_{0})\subset G_{1}\)で\(G=G_{0}\)より，
\(D_{1}(G)\subset G_{1}\)が成り立つ。

\(i=k-1\,(k=1,2,\dots,n)\)のとき仮定が成り立つ，
すなわち\(D_{k-1}(G)\subset G_{k-1}\)とする。

このとき両辺に\(D\)を作用させることで\(D(D_{k-1}(G))=D_{k}(G)\subset D(G_{k-1})\)が得られる。

ここで\(D(G_{i-1})\subset G_{i}\)に\(i=k\)を代入して，\(D(G_{k-1})\subset G_{k}\)であることがわかる。

先ほどの包含関係と組み合わせて\(D_{k}(G)\subset D(G_{k-1})\subset G_{k}\)となる。

よって\(i=k\)のとき，\(D_{k}(G)\subset G_{k}\)は示された。

以上より\([1]\Rightarrow[2]\)は示された。

\((\mathrm{ii})[2]\Rightarrow[1]\)について

\(D_{n}(G)=\{1_G\}\)という仮定より，
部分群列\(G=G_0\supset G_1\supset\cdots\supset G_n=\{1_G\}\,(i=1,2,\dots,n)\)を
\(G_{i}=D_{i}(G)\)として定めることができる。

つまり交換子列を取った。

交換子群の性質より，上の部分群列は正規列となる。

さらに\(G_{i-1}/G_{i}=D_{i-1}(G)/[D_{i-1}(G),D_{i-1}(G)]\)であるので，
これも交換子群の性質より可換群となる。

以上より\([2]\Rightarrow[1]\)は示された。

\((\mathrm{iii})[1]\Rightarrow[4]\)について

\(G\)は有限群であるので，剰余群\(G_{i-1}/G_{i}\)も有限群。

故に有限アーベル群の基本定理より，
素数\(p_{i1},\cdots,p_{it_{i}}\)（重複あり）と正の整数\(a_{i1},\cdots,a_{it_{i}}\)があり，
\(G_{i-1}/G_{i}\cong \mathbb{Z}/p_{i1}^{a_{i1}}\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}/p_{it_{i}}^{a_{it_{i}}}\mathbb{Z}\)となる。

そこで\(G_{i-1}/G_{i}\cong \mathbb{Z}/p_{i1}^{a_{i1}}\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}/p_{it_{i}}^{a_{it_{i}}}\mathbb{Z}\)の中の部分群について考えると，
次のような部分群列がとれる。

\(H_{i0}=\mathbb{Z}/p_{i1}^{a_{i1}}\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p_{i2}^{a_{i2}}\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}/p_{it_{i}}^{a_{it_{i}}}\mathbb{Z}\)
\(H_{i1}=p_{i1}^{1}\mathbb{Z}/p_{i1}^{a_{i1}}\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p_{i2}^{a_{i2}}\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}/p_{it_{i}}^{a_{it_{i}}}\mathbb{Z}\)
  \(\vdots\)
\(H_{ia_{i1}}=p_{i1}^{a_{i1}}\mathbb{Z}/p_{i1}^{a_{i1}}\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p_{i2}^{a_{i2}}\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}/p_{it_{i}}^{a_{it_{i}}}\mathbb{Z}\)
\(H_{i(a_{i1}+1)}=p_{i1}^{a_{i1}}\mathbb{Z}/p_{i1}^{a_{i1}}\mathbb{Z}\times p_{i2}^{1}\mathbb{Z}/p_{i2}^{a_{i2}}\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}/p_{it_{i}}^{a_{it_{i}}}\mathbb{Z}\)
  \(\vdots\)
\(H_{i(a_{i1}+a_{i2})}=p_{i1}^{a_{i1}}\mathbb{Z}/p_{i1}^{a_{i1}}\mathbb{Z}\times p_{i2}^{a_{i2}}\mathbb{Z}/p_{i2}^{a_{i2}}\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}/p_{it_{i}}^{a_{it_{i}}}\mathbb{Z}\)
  \(\vdots\)
\(H_{i(a_{i1}+a_{i2}+\cdots+a_{it_{i}})}=p_{i1}^{a_{i1}}\mathbb{Z}/p_{i1}^{a_{i1}}\mathbb{Z}\times p_{i2}^{a_{i2}}\mathbb{Z}/p_{i2}^{a_{i2}}\mathbb{Z}\times\cdots\times p_{it_{i}}^{a_{it_{i}}}\mathbb{Z}/p_{it_{i}}^{a_{it_{i}}}\mathbb{Z}=\{1\}\)

\(\mathbb{Z}/p_{i1}^{a_{i1}}\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}/p_{it_{i}}^{a_{it_{i}}}\mathbb{Z}\)は可換群なので，この部分群列は自動的に正規列となる。

さらにこのとき，隣り合う部分群の剰余群は素数位数の群となっている。

つまり\(j=1,2,\cdots,a_{i1}+a_{i2}+\cdots+a_{it_{i}}\)について，
\(H_{i(j-1)}/H_{ij}\)は素数位数の群ということである。

※例えば\(H_{i0}/H_{i1}\)は\(H_{i0}/H_{i1}\cong \mathbb{Z}/p_{i1}\mathbb{Z}\)より，位数が素数\(p_{i1}\)となっている。

この正規列を同型によって，\(G_{i-1}/G_{i}\)の正規列とみなす。

さらに剰余群の部分群と元の群の部分群の対応より，
この剰余群\(G_{i-1}/G_{i}\)の正規列に対して，
\(G_{i-1}\)の内での\(G_{i}\)を含むような正規列を取ることができる。

その正規列を\(G_{i-1}=G_{i0}\vartriangleright G_{i1}\cdots\vartriangleright G_{i(a_{i1}+a_{i2}+\cdots+a_{it_{i}})}=G_{i}\)とおくとする。
※\(G_{i-1}=G_{i0},\,\, G_{i(a_{i1}+a_{i2}+\cdots+a_{it_{i}})}=G_{i}\)の等式はその取り方から従うので問題なし。

ここで\(G_{i-1}\vartriangleright G_{i}\)より\(G_{ij}\vartriangleright G_{i}\)となるので，
剰余群\(G_{ij}/G_{i}\)を定義することができる。

故に有限アーベル群の基本定理から得られた同型より，
\((G_{ij}/G_{i})/(G_{i(j+1)}/G_{i})\cong H_{ij}/H_{i(j+1)}\)であることに注意する。

\(G_{ij}\vartriangleright G_{i(j+1)},G_{i}\) かつ \(G_{i}\subset G_{i(j+1)}\)なので，
第三同型定理より\(G_{ij}/G_{i(j+1)}\cong (G_{ij}/G_{i})/(G_{i(j+1)}/G_{i})\)であるので，
\(G_{ij}/G_{i(j+1)}\cong H_{ij}/H_{i(j+1)}\)。

\(H_{ij}/H_{i(j+1)}\)は素数位数の群であったので，\(G_{ij}/G_{i(j+1)}\)も素数位数の群となる。

つまり各\(i\)について
正規列\(G_{i-1}=G_{i0}\vartriangleright G_{i1}\cdots\vartriangleright G_{i(a_{i1}+a_{i2}+\cdots+a_{it_{i}})}=G_{i}\)で，
その隣合う群の剰余群が素数位数の群となるものがとれることが示された。

それらをつなげることで，\(G\)の正規列として
\(G=G_{0}=G_{10}\vartriangleright G_{11} \vartriangleright \cdots \vartriangleright G_{1(a_{11}+a_{12}+\cdots+a_{1t_{1}})}=G_{1}\)
\(G_{1}=G_{20}\vartriangleright G_{21} \vartriangleright \cdots \vartriangleright G_{2(a_{21}+a_{22}+\cdots+a_{2t_{2}})}=G_{2}\)
  \(\vdots\)
\(G_{n-1}=G_{n0}\vartriangleright G_{n1} \vartriangleright \cdots \vartriangleright G_{n(a_{n1}+a_{n2}+\cdots+a_{nt_{n}})}=G_{n}=\{1_{G}\}\)で，
その隣合う群の剰余群が素数位数の群となるものがとれる。

以上より\([1]\Rightarrow[4]\)は示された。

\((\mathrm{iv})[4]\Rightarrow[3]\)について

素数位数の群は巡回群なので，明らかに成り立つ。

\((\mathrm{v})[3]\Rightarrow[1]\)について

巡回群は可換群なので，明らかに成り立つ。